随机变量的数学期望
离散型
一维的
定义
设y = g(x)是连续函数，而Y = g(X)是随机变量X的函数。
- 若X是离散型随机变量，分布列为P(X = xi) = pi，i = 1, 2, ⋯，且级数$\sum_{i = 1}^{\infty}|g(x_i)|p_i$收敛，则 $$ EY = Eg(X)=\sum_{i = 1}^{\infty}g(x_i)p_i $$
例题
例 1：有限个取值的离散变量
设随机变量 X 表示掷一枚均匀骰子的点数，可能取值为 1, 2, 3, 4, 5, 6，每个取值的概率均为 $\frac{1}{6}$。
列出所有取值 xi 和对应概率 pi
xi 1 2 3 4 5 6 pi $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ 代入公式计算： $$ E(X) = 1 \times \frac{1}{6} + 2 \times \frac{1}{6} + 3 \times \frac{1}{6} + 4 \times \frac{1}{6} + 5 \times \frac{1}{6} + 6 \times \frac{1}{6} = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3.5 $$ 虽然骰子无法掷出 (3.5)，但期望反映了长期掷骰子的平均点数。
例 2：无限个取值的离散变量（几何分布）
设随机变量 X 表示独立重复试验中首次成功的试验次数，成功概率为 p（0 < p < 1），则 X 服从几何分布，概率质量函数为：P(X = k) = (1 − p)k − 1p (k = 1, 2, 3, …) 计算期望 E(X)：
公式展开：$E(X) = \sum_{k=1}^{\infty} k \cdot (1-p)^{k-1}p$
利用级数求和公式（令 q = 1 − p）：$\sum_{k=1}^{\infty} k q^{k-1} = \frac{1}{(1-q)^2} \quad (\text{当 } |q| < 1)$
代入得：$E(X) = p \cdot \frac{1}{(1-q)^2} = p \cdot \frac{1}{p^2} = \frac{1}{p}$
解释：例如抛硬币时正面朝上的概率 (p = 0.5)，则首次成功的平均试验次数为 (E(X) = 2)。
例3：二项分布的期望推导
设随机变量 $X (n, p) ，其概率质量函数为：$ P(X = k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}, k = 0,1,2,,n 期望的定义为： E[X] = {k=0}^n k P(X = k) = {k=0}^n k C_n^k p^k (1-p)^{n-k} $$ 注意到当 $ k = 0 $ 时项为 0，因此可以从 $ k = 1 $ 开始求和： $$ E[X] = {k=1}^n k p^k (1-p)^{n-k} $$ 利用组合恒等式 $ k \cdot C_n^k = n \cdot C_{n-1}^{k-1} $： $$ E[X] = {k=1}^n n p^k (1-p)^{n-k} $$ 提取 $ n p $ 并重新索引（令 $ j = k-1 $）： $$ E[X] = n p {j=0}^{n-1} p^j (1-p)^{n-1-j} = n p {j=0}^{n-1} C_{n-1}^j p^j (1-p)^{n-1-j} $$ 求和部分正是二项式定理展开：
$$ \sum_{j=0}^{n-1} C_{n-1}^j p^j (1-p)^{n-1-j} = (p + (1-p))^{n-1} = 1 $$ 因此得到：
E[X] = np 这个结果直观上表示：在 $ n $ 次独立伯努利试验中，每次成功的概率为 $ p $，则期望成功次数为 $ n p $。
二维的
定义
设 (X, Y) 是二维离散型随机变量，其联合分布列为 P(X = xi, Y = yj) = pij，i, j = 1, 2, ⋯。若 Z = g(X, Y) 是随机变量的函数，且级数 $\sum_{i=1}^\infty\sum_{j=1}^\infty |g(x_i,y_j)|p_{ij}$ 收敛，则 Z 的数学期望定义为：
$$ E[Z] = E[g(X,Y)] = \sum_{i=1}^\infty\sum_{j=1}^\infty g(x_i,y_j)p_{ij} $$
特别地
- X 的边际期望： E[X] = ∑i∑jxip(xi, yj) = ∑ixipX(xi)
- Y 的边际期望： E[Y] = ∑i∑jyjp(xi, yj) = ∑jyjpY(yj)
解释
这个定理告诉我们如何计算随机变量函数的期望值 EY = Eg(X)，在离散型的情况下，核心思想还是将函数值按概率加权平均。
X 是离散的时候（比如掷骰子的点数），取值都是可以列举出来的，$ x1,x2,…x1,x2,…，存在一一对应的概率为 p1,p2,…p1,p2,…$。
那么Eg(X)是什么，如何计算Eg(X)，它代表什么
Eg(X) 是随机变量 X 的函数 g(X) 的数学期望（也叫均值）。它表示：当 X 随机变化时，g(X) 的平均取值是多少。
- 举例说明：
- 设 X 表示“掷骰子的点数”，g(X) = X2，则 Eg(X) 就是“骰子点数的平方的平均值”。
- 设 X 表示“某地区成年人的身高（米）”，g(X) = eX（计算指数增长），则 Eg(X) 就是“e身高 的平均值”。
那么此时对g(x)的表述可能还是不够清晰，那么g(x)是什么
因为直接研究 X 可能不够，我们常需要分析它的函数 g(X)，而定义里也就是这么提到的
g(X) 是一个随机变量的函数，表示对随机变量 X 进行某种数学变换后得到的新随机变量。
- X 是原始随机变量（如身高、温度、股票价格等）。
- g 是一个确定的函数，让你求啥，他就是啥（如平方 g(X) = X2、指数 g(X) = eX、线性变换$ g(X)=2X+3$ 等）。
- g(X) 的结果仍然是随机变量，因为它的值依赖于 X 的随机性。
例题
例题1：已知联合分布列求数学期望
设二维离散型随机变量(X, Y)的联合分布列为：
计算 X 的边缘分布列： $$ P(X = 0) = P(X = 0, Y = 1) + P(X = 0, Y = 2) + P(X = 0, Y = 3) = 0.1 + 0.2 + 0.1 = 0.4 \\ P(X = 1) = P(X = 1, Y = 1) + P(X = 1, Y = 2) + P(X = 1, Y = 3) = 0.1 + 0.3 + 0.2 = 0.6 $$ 计算Y的边缘分布列： $$ P(Y = 1) = P(X = 0, Y = 1) + P(X = 1, Y = 1) = 0.1 + 0.1 = 0.2 \\ P(Y = 2) = P(X = 0, Y = 2) + P(X = 1, Y = 2) = 0.2 + 0.3 = 0.5 \\ P(Y = 3) = P(X = 0, Y = 3) + P(X = 1, Y = 3) = 0.1 + 0.2 = 0.3 $$ 计算E(X) 和 E(Y)，根据期望公式 E(X) = ∑ixiP(X = xi) = 0 × 0.4 + 1 × 0.6 = 0.6
E(Y) = ∑jyjP(Y = yj) = 1 × 0.2 + 2 × 0.5 + 3 × 0.3 = 2.1
例题2：求函数的数学期望
设二维离散型随机变量(X, Y)的联合分布列与例 1 相同，计算 Z = X + Y 的期望 E(Z)
确定 g(x) = X + Y 的取值及其对应概率：
- 当 (X, Y) = (0, 1) 时：Z = 1，P(Z = 1) = 0.1
- 当 (X, Y) = (0, 2) 时：Z = 2，P(Z = 2) = 0.2
- 当 (X, Y) = (0, 3) 时：Z = 3，P(Z = 3) = 0.1
- 当 (X, Y) = (1, 1) 时：Z = 2，P(Z = 2) = 0.1
- 当 (X, Y) = (1, 2) 时：Z = 3，P(Z = 3) = 0.3
- 当 (X, Y) = (1, 3) 时：Z = 4，P(Z = 4) = 0.2
整理Z的分布列如下：
| Z | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| P | 0.1 | 0.3 | 0.4 | 0.2 |
计算E(Z)，根据数学期望公式，可得 $$ \begin{align*} E(Z) &= \sum z P(Z=z) \\ &= 1 \times 0.1 + 2 \times (0.2 + 0.1) + 3 \times (0.1 + 0.3) + 4 \times 0.2 \\ &= 0.1 + 0.6 + 1.2 + 0.8 \\ &= 2.7 \end{align*} $$ 最后验证期望的线性性质：
E(Z) = E(X + Y) = E(X) + E(Y) = 0.6 + 2.1 = 2.7
例题3：
设二维离散型随机变量(X, Y)的联合分布律如下：
| X ∖ Y | 1 | 2 |
|---|---|---|
| 0 | 0.2 | 0.1 |
| 1 | 0.3 | 0.4 |
计算随机变量Z = 2X + Y的数学期望E(Z)。
解答：
根据二维离散型随机变量函数的数学期望公式 E(Z) = E(g(X, Y)) = ∑i∑jg(xi, yj)pij 其中g(X, Y) = 2X + Y，pij是(X = xi, Y = yj)的联合概率。
我们需要分别计算g(xi, yj)pij在不同(xi, yj)组合下的值，再进行求和：
- 当x1 = 0, y1 = 1时： g(0, 1) = 2 × 0 + 1 = 1，p11 = 0.2，则g(0, 1)p11 = 1 × 0.2 = 0.2。
- 当x1 = 0, y2 = 2时： g(0, 2) = 2 × 0 + 2 = 2，p12 = 0.1，则g(0, 2)p12 = 2 × 0.1 = 0.2。
- 当x2 = 1, y1 = 1时： g(1, 1) = 2 × 1 + 1 = 3，p21 = 0.3，则g(1, 1)p21 = 3 × 0.3 = 0.9。
- 当x2 = 1, y2 = 2时： g(1, 2) = 2 × 1 + 2 = 4，p22 = 0.4，则g(1, 2)p22 = 4 × 0.4 = 1.6。
将上述结果求和可得： E(Z) = 0.2 + 0.2 + 0.9 + 1.6 = 2.9
答案：E(Z) = 2.9
多维的
连续性
一维的
定义
设y = g(x)是连续函数，而Y = g(X)是随机变量X的函数。
- 若X是概率密度为f(x)的连续型随机变量，且积分∫−∞+∞|g(x)|f(x)dx收敛，则 EY = Eg(X) = ∫−∞+∞g(x)f(x)dx
例题
例题1：推导均匀分布的期望形式
设随机变量 X 服从区间 [a, b] 上的均匀分布，其概率密度函数为：
$$ f(x) = \begin{cases} \frac{1}{b-a}, & a \leq x \leq b \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$
期望 E[X] 的计算过程如下：
$$ \begin{align*} E[X] &= \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx \\ &= \int_{a}^{b} x \cdot \frac{1}{b-a} dx \\ &= \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} x dx \\ &= \frac{1}{b-a} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{a}^{b} \\ &= \frac{1}{b-a} \left( \frac{b^2}{2} - \frac{a^2}{2} \right) \\ &= \frac{1}{b-a} \cdot \frac{b^2 - a^2}{2} \\ &= \frac{(b-a)(b+a)}{2(b-a)} \\ &= \frac{a + b}{2} \end{align*} $$ 其中关键步骤说明： 1. 积分限从 a 到 b，因为在其他区间 f(x) = 0 2. 计算定积分 $\int x dx = \frac{x^2}{2}$ 3. 分子因式分解 b2 − a2 = (b − a)(b + a) 4. 最后约去 (b − a) 项
因此，均匀分布的期望为：
$$ E[X] = \frac{a + b}{2} $$
例题2：二次函数情形的期望形式
设连续型随机变量 X 的期望为 μ，方差为 σ2，求 Z = (X − μ)2 的数学期望 E(Z)。
解答：
直接展开： E(Z) = E[(X − μ)2]
利用方差定义： Var(X) = E[(X − μ)2] − [E(X − μ)]2
注意到： E(X − μ) = E(X) − μ = 0
因此： E[(X − μ)2] = Var(X) + 0 = σ2
结论： E[(X − μ)2] = σ2
例题3：
设随机变量 X 的概率密度函数为：
$ f_X(x) =$
计算随机变量 $ Y = X^2$ 的数学期望 $ E(Y)$ 。
解答过程：
根据数学期望公式： E(Y) = E(X2) = ∫−∞∞x2fX(x) dx 由于 fX(x) 在 x < 0 时为零，积分区间简化为 [0, +∞)： E(Y) = ∫0∞x2 ⋅ 2e−2x dx = 2∫0∞x2e−2x dx 使用分部积分法，令 u = x2，dv = e−2xdx，则 du = 2xdx，$v = -\frac{1}{2}e^{-2x}$： $$ \int x^2 e^{-2x} dx = -\frac{1}{2}x^2 e^{-2x} + \int x e^{-2x} dx $$ 对于剩余的积分 ∫xe−2xdx，再次使用分部积分法，令 u = x，dv = e−2xdx，则 du = dx，$v = -\frac{1}{2}e^{-2x}$ $$ \int x e^{-2x} dx = -\frac{1}{2}x e^{-2x} + \frac{1}{2} \int e^{-2x} dx = -\frac{1}{2}x e^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x} + C $$ 将结果代回原式： $$ \int_{0}^{\infty} x^2 e^{-2x} dx = \left[ -\frac{1}{2}x^2 e^{-2x} - \frac{1}{2}x e^{-2x} - \frac{1}{4}e^{-2x} \right]_{0}^{\infty} $$ 当 x → ∞ 时，所有项趋近于零；当 x = 0 时，结果为 $0 - (-\frac{1}{4}) = \frac{1}{4}$。因此： $$ 2 \int_{0}^{\infty} x^2 e^{-2x} dx = 2 \cdot \frac{1}{4} = \frac{1}{2} $$ 答案：$E(Y) = \frac{1}{2}$
二维的
定义
设 (X, Y) 是二维连续型随机变量，其联合概率密度函数为 f(x, y)。若 Z = g(X, Y) 是随机变量的连续函数，且积分 ∫−∞+∞∫−∞+∞|g(x, y)|f(x, y)dxdy 收敛，则 Z 的数学期望定义为：
E[Z] = E[g(X, Y)] = ∫−∞+∞∫−∞+∞g(x, y)f(x, y)dxdy
例题
例题1
设二维连续型随机变量 (X, Y) 的联合概率密度函数为： $$ f(x, y) = \begin{cases} \frac{1}{2}, & 0 \leq x \leq 1, \ 0 \leq y \leq 2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$ 计算随机变量 Z = X + Y 的数学期望 E(Z)。
解答：
根据二维连续型随机变量函数的数学期望公式： E(Z) = E(g(X, Y)) = ∫−∞∞∫−∞∞g(x, y)f(x, y) dx dy 其中，g(X, Y) = X + Y，代入联合概率密度函数f(x, y)的表达式 $$ E(Z) = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} (x + y) \cdot \frac{1}{2} \, dy \, dx $$ 将积分拆分为两部分： $$ E(Z) = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} x \, dy \, dx + \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} y \, dy \, dx $$ 计算第一个积分 $$ \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} x \, dy \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x \left[ \int_{0}^{2} 1 \, dy \right] dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} x \cdot 2 \, dx = \int_{0}^{1} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} $$ 计算第二个积分： $$ \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \int_{0}^{2} y \, dy \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \left[ \int_{0}^{2} y \, dy \right] dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{2} dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} 2 \, dx = \int_{0}^{1} 1 \, dx = \left[ x \right]_{0}^{1} = 1 $$ 将两部分结果相加： $$ E(Z) = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} $$ 答案：$E(Z) = \frac{3}{2}$
例题2：
设二维连续型随机变量 (X, Y) 的联合概率密度函数为： $$ f(x, y) = \begin{cases} e^{-(x + y)}, & x \geq 0, \ y \geq 0 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$ 计算随机变量 Z = XY 的数学期望 E(Z)。
解答：
根据期望公式 E(Z) = E(XY) = ∫−∞∞∫−∞∞xy ⋅ f(x, y) dx dy 由于 f(x, y) 在 x < 0 或 y < 0 时为零，积分区间简化为 [0, +∞) × [0, +∞)： E(Z) = ∫0∞∫0∞xy ⋅ e−(x + y) dx dy 将指数函数拆分为两个独立的指数函数 (E(Z) = (∫0∞xe−x dx)(∫0∞ye−y dy) 注意到两个积分形式相同，均为指数分布的一阶矩。对于指数分布 X ∼ Exp(λ)，其概率密度函数为 f(x) = λe−λx，数学期望为 $E(X) = \frac{1}{\lambda}$。当λ = 1时： ∫0∞xe−x dx = 1 因此： E(Z) = 1 × 1 = 1 答案：E(Z) = 1
多维的
随机变量的方差
离散的
公式 D(X) = E(X2) − E(X)2 这部分仅仅列出例题
一维的
题目1
设离散型随机变量 X 的分布律为： $$ \begin{array}{c|c|c|c} X & 0 & 1 & 2 \\ \hline P(X) & 0.2 & 0.5 & 0.3 \\ \end{array} $$ 计算随机变量 Y = 3X + 2 的方差 D(Y)。
解答
根据方差的定义D(Y) = E(Y2) − [E(Y)]2，我们需要计算 E(Y) 和 E(Y2)。
计算 E(Y)： E(Y) = E(3X + 2) = 3E(X) + 2 其中E(X) E(X) = 0 × 0.2 + 1 × 0.5 + 2 × 0.3 = 0 + 0.5 + 0.6 = 1.1 因此 E(Y) = 3 × 1.1 + 2 = 5.3
计算E(Y2) E(Y2) = E[(3X + 2)2] = E[9X2 + 12X + 4] = 9E(X2) + 12E(X) + 4 其中，$E(X^2) 为$ E(X^2) = 0 ^2 + 1^2 + 2^2 = 1.7 所以 E(Y^2) = 9 + 12 + 4 = 15.3 + 13.2 + 4 = 32.5 $$
计算D(Y): D(Y) = E(Y2) − [E(Y)]2 = 32.5 − (5.3)2 = 32.5 − 28.09 = 4.41
答案：D(Y) = 4.41
题目2
设离散型随机变量 X 的分布律为： $$ \begin{array}{c|c|c|c} X & -1 & 0 & 1 \\ \hline P(X) & 0.3 & 0.4 & 0.3 \\ \end{array} $$ 计算随机变量 Y = X2 的方差 D(Y)。
解答过程：
同样根据方差的定义 D(Y) = E(Y2) − [E(Y)]2，分步计算
计算E(Y) E(Y) = E(X2) = (−1)2 × 0.3 + 02 × 0.4 + 12 × 0.3 = 0.3 + 0 + 0.3 = 0.6
计算E(Y2)
E(Y2) = E[(X2)2] = E(X4) = (−1)4 × 0.3 + 04 × 0.4 + 14 × 0.3 = 0.3 + 0 + 0.3 = 0.6
- 计算 D(Y)： D(Y) = E(Y2) − [E(Y)]2 = 0.6 − (0.6)2 = 0.6 − 0.36 = 0.24
答案：D(Y) = 0.24
二维的
题目1
设二维离散型随机变量 (X, Y) 的联合分布律如下：
| X ∖ Y | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0.3 | 0.2 |
| 1 | 0.1 | 0.4 |
计算随机变量 Z = X + Y 的方差 D(Z)。
解答：
根据方差的定义 D(Z) = E(Z2) − [E(Z)]2，我们需要先计算 E(Z) 和 E(Z2)。 E(Z) = E(X + Y) = E(X) + E(Y)
E(X) = 0 * (0.3 + 0.2) + 1 * (0.1 + 0.4) = 0.5
E(Y) = 0 * (0.3 + 0.1) + 1 * (0.2 + 0.4) = 0.6
E(Z) = 0.5 + 0.6 = 1.1
E(Z2) = E[(X + Y)2] = E(X2 + 2XY + Y2) = E(X2) + 2E(XY) + E(Y2)
E(XY) = ∑i, jxiyjP(X = xi, Y = yj) = 0 × 0 × 0.3 + 0 × 1 × 0.2 + 1 × 0 × 0.1 + 1 × 1 × 0.4 = 0 + 0 + 0 + 0.4 = 0.4
E(X2) = 02 * (0.3 + 0.2) + 12 * (0.1 + 0.4) = 0.5
E(Y2) = 02 × (0.3 + 0.1) + 12 × (0.2 + 0.4) = 0 + 0.6 = 0.6
E(Z2) = 0.5 + 2 × 0.4 + 0.6 = 0.5 + 0.8 + 0.6 = 1.9
E(Z2) = 0.5 + 2 × 0.4 + 0.6 = 0.5 + 0.8 + 0.6 = 1.9
答案：D(Z) = 0.69
例题2
设二维离散型随机变量 (X, Y) 的联合分布律如下：
| X ∖ Y | -1 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0.2 | 0.3 |
| 2 | 0.4 | 0.1 |
计算随机变量 Z = XY 的方差 D(Z)。
解答过程：
同样根据方差的定义 D(Z) = E(Z2) − [E(Z)]2，分步计算： E(Z) = E(XY) = ∑i, jxiyjP(X = xi, Y = yj) = 0 × (−1) × 0.2 + 0 × 1 × 0.3 + 2 × (−1) × 0.4 + 2 × 1 × 0.1 = 0 + 0 − 0.8 + 0.2 = −0.6
E(Z2) = E[(XY)2] = ∑i, j(xiyj)2P(X = xi, Y = yj) = [0 × (−1)]2 × 0.2 + [0 × 1]2 × 0.3 + [2 × (−1)]2 × 0.4 + [2 × 1]2 × 0.1 = 0 × 0.2 + 0 × 0.3 + 4 × 0.4 + 4 × 0.1 = 0 + 0 + 1.6 + 0.4 = 2
D(Z) = E(Z2) − [E(Z)]2 = 2 − (−0.6)2 = 2 − 0.36 = 1.64
答案：D(Z) = 1.64
例题3
连续的
公式上同，这部分也是只给出例题
一维的
例题1
设连续型随机变量 X 的概率密度函数为： $$ f(x) = \begin{cases} 2e^{-2x}, & x \geq 0 \\ 0, & x < 0 \end{cases} $$ 计算随机变量 Y = e−X 的方差 D(Y)。
解答：
根据方差的定义 D(Y) = E(Y2) − [E(Y)]2，分步计算：
计算 E(Y)： E(Y) = E(e−X) = ∫0∞e−x ⋅ 2e−2x dx = 2∫0∞e−3x dx 令 u = 3x，则 $dx = \frac{1}{3} du$，积分变为： $$ 2 \int_{0}^{\infty} e^{-u} \cdot \frac{1}{3} du = \frac{2}{3} \int_{0}^{\infty} e^{-u} du = \frac{2}{3} \cdot 1 = \frac{2}{3} $$
计算 E(Y2)： E(Y2) = E(e−2X) = ∫0∞e−2x ⋅ 2e−2x dx = 2∫0∞e−4x dx 令 u = 4x，则 $dx = \frac{1}{4} du$，积分变为： $$ 2 \int_{0}^{\infty} e^{-u} \cdot \frac{1}{4} du = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} e^{-u} du = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2} $$
计算 D(Y)： $$ D(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 = \frac{1}{2} - \left( \frac{2}{3} \right)^2 = \frac{1}{2} - \frac{4}{9} = \frac{9}{18} - \frac{8}{18} = \frac{1}{18} $$
答案：$D(Y) = \frac{1}{18}$
例题2
设随机变量 X 服从均匀分布 U(−2, 2)，定义随机变量 Y = X + |X|，求 Y 的方差 D(Y)。
解答：
分析 Y 的表达式
由于随机变量 X 服从均匀分布 U(−2, 2)
均匀分布 (U(-2, 2)) 的概率密度函数为： $$ f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{4}, & x \in (-2, 2) \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$ 而其中 $$ |X| = \begin{cases} X, & X \geq 0 \\ -X, & X < 0 \end{cases} $$ 因此 $$ Y = X + |X| = \begin{cases} 2X, & X \geq 0 \\ 0, & X < 0 \end{cases} $$
计算E(Y) $$ E(Y) = \int_{-2}^{0} 0 \cdot \frac{1}{4} \, dx + \int_{0}^{2} 2x \cdot \frac{1}{4} \, dx = 0 + \frac{1}{2} \int_{0}^{2} x \, dx $$ 计算积分 $$ \int_{0}^{2} x \, dx = \left. \frac{x^2}{2} \right|_{0}^{2} = \frac{4}{2} - 0 = 2 $$
$$ E(Y) = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1 $$
计算E(Y2)
同样分段积分： $$ E(Y^2) = \int_{-2}^{0} 0^2 \cdot \frac{1}{4} \, dx + \int_{0}^{2} (2x)^2 \cdot \frac{1}{4} \, dx = 0 + \int_{0}^{2} 4x^2 \cdot \frac{1}{4} \, dx $$ 化简后 $$ (Y^2) = \int_{0}^{2} x^2 \, dx = \left. \frac{x^3}{3} \right|_{0}^{2} = \frac{8}{3} - 0 = \frac{8}{3} $$
计算D(Y) $$ \frac{8}{3}D(Y) = E(Y^2) - [E(Y)]^2 = \frac{8}{3} - 1^2 = \frac{5}{3} $$
例题3
已知随机变量 X 的概率密度函数 $$ f(x) = \begin{cases} 1 + x, & -1 \leq x \leq 0, \\ 1 - x, & 0 < x \leq 1, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases} $$ 求 X 的方差 D(X)
解答：
计算期望 E[X]
由于密度函数关于 x = 0 对称，且 x 是奇函数： E[X] = ∫−11xf(x)dx = 0
计算 E[X2] E[X2] = ∫−11x2f(x)dx = ∫−10x2(1 + x)dx + ∫01x2(1 − x)dx
计算第一个积分： $$ \int_{-1}^0 x^2(1+x) dx = \int_{-1}^0 (x^2 + x^3) dx = \left[\frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{4}\right]_{-1}^0 = 0 - \left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{12} $$
计算第二个积分： $$ \int_0^1 x^2(1-x) dx = \int_0^1 (x^2 - x^3) dx = \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12} $$
因此： $$ E[X^2] = \frac{1}{12} + \frac{1}{12} = \frac{1}{6} $$
根据方差公式： $$ D(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{1}{6} - 0 = \frac{1}{6} $$
例题4
已知随机变量 $ X$ 的概率密度函数 $$ f(x) = \begin{cases} \dfrac{2}{\pi} \cos^2 x, & |x| \leq \dfrac{\pi}{2}, \\ 0, & |x| > \dfrac{\pi}{2}. \end{cases} $$ 求 $ X$ 的方差 D(X)
解答
验证 f(x) 满足概率密度函数的两个基本性质：
非负性：显然 cos2x ≥ 0 且 $\frac{2}{\pi} > 0$，故 f(x) ≥ 0
归一性： $$ \begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx &= \frac{2}{\pi} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos^2 x dx \\ &= \frac{4}{\pi} \int_{0}^{\pi/2} \cos^2 x dx \quad (\text{利用偶函数性质}) \\ &= \frac{4}{\pi} \left[ \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} \right]_0^{\pi/2} \\ &= \frac{4}{\pi} \left( \frac{\pi}{4} + 0 - 0 - 0 \right) = 1 \end{align*} $$
计算E(X)
由于 f(x) 是偶函数，x 是奇函数，其乘积 xf(x) 是奇函数： $$ E[X] = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} x \cdot \frac{2}{\pi} \cos^2 x dx = 0 $$
计算 E[X2] $$ \begin{align*} E[X^2] &= \frac{2}{\pi} \int_{-\pi/2}^{\pi/2} x^2 \cos^2 x dx \\ &= \frac{4}{\pi} \int_{0}^{\pi/2} x^2 \cos^2 x dx \quad (\text{偶函数性质}) \end{align*} $$ 分部积分，设 u = x2, dv = cos2xdx，则： $$ \begin{align*} \int x^2 \cos^2 x dx &= x^2 \left( \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} \right) - \int \left( \frac{x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} \right) 2x dx \\ &= \frac{x^3}{2} + \frac{x^2 \sin 2x}{4} - \int x^2 dx - \frac{1}{2} \int x \sin 2x dx \\ &= \frac{x^3}{2} + \frac{x^2 \sin 2x}{4} - \frac{x^3}{3} - \frac{1}{2} \left( -\frac{x \cos 2x}{2} + \frac{\sin 2x}{4} \right) + C \end{align*} $$ 计算定积分 $$ \begin{align*} \int_{0}^{\pi/2} x^2 \cos^2 x dx &= \left[ \frac{x^3}{6} + \frac{x^2 \sin 2x}{4} + \frac{x \cos 2x}{4} - \frac{\sin 2x}{8} \right]_0^{\pi/2} \\ &= \frac{\pi^3}{48} + 0 + 0 - \frac{1}{8} - (0 + 0 + 0 - 0) \\ &= \frac{\pi^3}{48} - \frac{1}{8} \end{align*} $$ （$$ \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} $$）
因此 $$ E[X^2] = \frac{4}{\pi} \left( \frac{\pi^3}{48} - \frac{1}{8} \right) = \frac{\pi^2}{12} - \frac{1}{2\pi} $$
计算方差 $$ D(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \left( \frac{\pi^2}{12} - \frac{1}{2\pi} \right) - 0 = \frac{\pi^2}{12} - \frac{1}{2\pi} $$
二维的
例题1
设二维连续型随机变量 (X, Y) 的联合概率密度函数为： $$ f(x, y) = \begin{cases} \frac{1}{2\pi} e^{-\frac{x^2 + y^2}{2}}, & -\infty < x, y < +\infty \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$ 计算随机变量 Z = X2 + Y2 的方差 D(Z)。
解答
根据方差的定义 D(Z) = E(Z2) − [E(Z)]2，我们需要先计算 E(Z) 和 E(Z2)。 E(Z) = E(X2 + Y2) = E(X2) + E(Y2) 由于 X 和 Y 均服从标准正态分布 N(0, 1)，故 E(X2) = D(X) + [E(X)]2 = 1 + 0 = 1，同理 E(Y2) = 1。因此：E(Z) = 1 + 1 = 2 E(Z2) = E[(X2 + Y2)2] = E(X4) + 2E(X2Y2) + E(Y4) 计算 E(X4) 和 E(Y4)： 对于标准正态分布 N(0, 1)，其四阶矩为 E(X4) = 3，故： E(X4) = E(Y4) = 3
计算 E(X2Y2)：
由于 X 和 Y 相互独立，故： E(X2Y2) = E(X2) ⋅ E(Y2) = 1 ⋅ 1 = 1
因此： E(Z2) = 3 + 2 ⋅ 1 + 3 = 8
计算 D(Z)： D(Z) = E(Z2) − [E(Z)]2 = 8 − 22 = 8 − 4 = 4
答案：D(Z) = 4
例题2
设二维连续型随机变量 (X, Y) 在单位圆 x2 + y2 ≤ 1 内服从均匀分布，其联合概率密度函数为： $$ f(x, y) = \begin{cases} \frac{1}{\pi}, & x^2 + y^2 \leq 1 \\ 0, & \text{其他} \end{cases} $$ 计算随机变量 Z = XY 的方差 D(Z)。
计算：
计算E(Z) $$ E(Z) = E(XY) = \iint_{x^2 + y^2 \leq 1} xy \cdot \frac{1}{\pi} \, dx \, dy $$ 由于积分区域关于 x 轴和 y 轴对称，且被积函数 xy 是奇函数，故：E(Z) = 0
计算E(Z2) $$ E(Z^2) = E(X^2Y^2) = \iint_{x^2 + y^2 \leq 1} x^2 y^2 \cdot \frac{1}{\pi} \, dx \, dy $$ 转换为极坐标：x = rcos θ，y = rsin θ，dx dy = r dr dθ，积分区域变为 0 ≤ r ≤ 1，0 ≤ θ ≤ 2π： $$ E(Z^2) = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (r^2\cos^2\theta)(r^2\sin^2\theta) r \, dr \, d\theta $$ 化简被积函数： $$ r^5 \cos^2\theta \sin^2\theta = \frac{1}{4}r^5 \sin^2(2\theta) $$ 计算积分： $$ E(Z^2) = \frac{1}{4\pi} \int_{0}^{2\pi} \sin^2(2\theta) \, d\theta \int_{0}^{1} r^5 \, dr $$
计算 ∫01r5 dr： $$ \int_{0}^{1} r^5 \, dr = \left[ \frac{r^6}{6} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{6} $$
计算 ∫02πsin2(2θ) dθ： 令 u = 2θ，则 $d\theta = \frac{1}{2} du$，积分变为： $$ \frac{1}{2} \int_{0}^{4\pi} \sin^2 u \, du = \frac{1}{2} \cdot 2\pi = \pi $$ 因此： $$ E(Z^2) = \frac{1}{4\pi} \cdot \pi \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{24} $$
所以 $$ D(Z) = E(Z^2) - [E(Z)]^2 = \frac{1}{24} - 0^2 = \frac{1}{24} $$
题目3
设随机变量 X, Y 独立且均服从 $N\left(0, \frac{1}{2}\right)$ ，求 E(|X − Y|) （即 |X − Y| 的数学期望 ）
解答：
正态分布性质：若 X ∼ N(μ1, σ12) ，$ Y N(_2, _2^2) $ 且独立，则 $X - Y N(_1 - _2, _1^2 + _2^2) $。
代入 μ1 = μ2 = 0 ，$ _1^2 = _2^2 = $，得：
$$ X - Y \sim N\left( 0, \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right) = N(0, 1) $$ 设 Z = X − Y ∼ N(0, 1) ，则 $$ E(|Z|) = \int_{-\infty}^{+\infty} |z| \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} dz $$ 利用对称性（被积函数是偶函数），简化为： $$ E(|Z|) = 2 \int_{0}^{+\infty} z \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{z^2}{2}} \, dz $$ 令 $t = \frac{z^2}{2}$ ，则 dt = z dz ，积分变为： $$ E(|Z|) = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_{0}^{+\infty} e^{-t} \, dt = \frac{2}{\sqrt{2\pi}} \cdot 1 = \boldsymbol{\frac{\sqrt{2}}{\pi}} $$
