数学物理方程之三类典型模型的建立

数学物理方程模型前言

介绍

《数学物理方程》是偏微分方程方向的一门入门课程。我们希望从具体的物理现象出发，找出所遵循的规律，把它写成方程，再研究方程的解能否解释和预测原来的现象。

数学物理方程主要研究由物理、力学等实际问题产生的函数方程，本部分以偏微分方程为主。偏微分方程理论还用于化学、生物、工程、图像处理和金融等领域。

这门课有两个比较明显的特点：

数学理论、解题方法与物理实际结合：不仅要会解方程，还要知道方程和定解条件是怎样从物理问题中来的。
需要综合运用已有知识：数学分析、常微分方程、线性代数、复变函数等知识都会用到。

本部分建立三类典型模型：波动方程、热传导方程、调和方程（及泊松方程）。它们分别描述振动传播、温度或物质的扩散、稳定状态下物理量的空间分布。

数学物理方程的研究方法

如何从实际问题中导出方程呢？课件给出的思路是：

$$ \text{物理模型}\xrightarrow{\text{定量化}}\text{数学模型}. $$

建立坐标系，明确研究区域和时间范围。
选择表征过程的物理量，例如位移 u(x, t) 或温度 u(x, y, z, t)。
寻找过程遵守的物理定律，例如牛顿第二定律、热量守恒和傅里叶定律。
写出物理定律的数学表达式，并结合初始状态、边界情况，形成定解问题。

之后还要做三件事：求解定解问题，研究解的性质，再把解放回物理背景中解释。求解方法包括特征线法、分离变量法、Fourier 变换法等；这一篇先专注于模型的建立。

研究一个定解问题时，常关心它是否适定：

存在性：在给定数据下有没有解？
唯一性：相同数据能否确定唯一的解？
稳定性：初始和边界数据有小变化时，解是否也只发生相应的小变化（连续依赖于数据）？

三者都满足时，称为适定。后面会看到，定解条件不是越多越好，也不能随意指定。

基本概念

偏微分方程（PDE）：未知函数依赖两个或更多自变量，方程中含有该函数的偏导数。
偏微分方程的阶：方程中未知函数出现的最高阶偏导数的阶数。
线性偏微分方程：未知函数及其各阶偏导数都只以一次线性组合出现；系数可以依赖自变量，但不能依赖未知函数或它的导数。
非线性偏微分方程：不满足上述线性条件的偏微分方程。例如 u_t + uu_x = 0 是一阶非线性方程（无粘 Burgers 方程，可出现激波）。

两个自变量的二阶线性偏微分方程可写成

a₁₁(x, y)u_xx + 2a₁₂(x, y)u_xy + a₂₂(x, y)u_yy + b₁(x, y)u_x + b₂(x, y)u_y + c(x, y)u = f(x, y).

其中各系数和 f 都是已知函数。若 f = 0，称方程为齐次方程；否则为非齐次方程。不要把“方程齐次”和“边界条件齐次”混为一谈，它们分别看方程右端和边界数据是否为零。

本篇中反复出现的例子：

方程	典型形式	主要描述
波动方程	u_tt − a²u_xx = f(x, t)	一维弦的横振动
热传导方程	u_t − a²u_xx = f(x, t)	一维温度变化
泊松方程	Δu = f(x)	有源的稳态分布
调和方程	Δu = 0	无源的稳态分布

这里 Δ 是拉普拉斯算子，例如在三维中 Δu = u_xx + u_yy + u_zz。课件中波动方程和热传导方程的二阶空间导数均为 u_xx，不是 u_xxx。

三类典型模型的建立

弦振动方程与定解条件

引入

演奏二胡、小提琴时，弓只接触弦的一小段，振动却会传播到整根弦。下面从一个小弦段的受力出发，解释它为什么满足波动方程。

以弦振动为例进行物理问题的分析

物理问题提法

一根拉紧的均匀柔软细弦，长为 l，两端固定，在外力作用下于平衡位置附近作微小横振动。我们要研究弦上各点随时间的运动规律。
数学提法

以弦的平衡位置为 x 轴，两端分别是 x = 0 和 x = l。令 u(x, t) 表示弦上横坐标为 x 的点在时刻 t 的横向位移，所求的就是 u(x, t)。
理想化假设
- 弦均匀、足够细，线密度 ρ 是常数。
- 弦柔软，不抵抗弯曲；张力沿弦的切线方向，且弦的伸长与张力之间服从胡克定律。
- 弦只在一个平面内作微小横振动，切线斜率满足 |u_x| ≪ 1，可以忽略高阶小量。
- 预先将弦拉紧，其平衡张力 T > 0。小振动时张力的变化是高阶小量，在线性近似中把 T 看作常数。
弦放松时不会抵抗弯曲；绷紧后相邻小段通过张力相互影响，扰动便能沿弦传播。
小弦段的受力分析

取两端横坐标为 x₁, x₂ 的小弦段 $\widehat{M_1M_2}$：

它的弧长为

$$ \Delta s=\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+u_x(\xi,t)^2}\,\mathrm d\xi \approx x_2-x_1. $$

因为 |u_x| ≪ 1，弦段的伸长在一阶近似中可以忽略。若没有水平外力和水平加速度，两端张力的水平分量平衡：

T₂cos α₂ − T₁cos α₁ = 0.

小角度下 cos α₁ ≈ cos α₂ ≈ 1，所以 T₁ ≈ T₂。结合伸长可忽略的假设，在线性化模型中记张力为常数 T。这是一种近似，不是说真实弦的张力绝对不变。

结合分析进行数学物理方程的导出

课件用“动量增量 = 外力的冲量”推导。我们把它写成等价的瞬时形式，积分变量也区分开来，方便以后自己复算。

在 [x₁, x₂] 上取一段弦。它的横向动量为

P(t) = ∫_x₁^x₂ρu_t(ξ, t) dξ.

右端张力的竖直分量约为 Tsin α₂ ≈ Tu_x(x₂, t)，左端约为 −Tu_x(x₁, t)。若 F(x, t) 是单位长度上的横向外力，牛顿第二定律给出

$$ \frac{\mathrm dP}{\mathrm dt} =T\bigl[u_x(x_2,t)-u_x(x_1,t)\bigr] +\int_{x_1}^{x_2}F(\xi,t)\,\mathrm d\xi. $$

把两边都写成对 ξ 的积分：

∫_x₁^x₂[ρu_tt(ξ, t) − Tu_xx(ξ, t) − F(ξ, t)] dξ = 0.

由于小弦段任意，在足够光滑的情况下，被积函数为零，即

ρu_tt − Tu_xx = F(x, t).

令

$$ a^2=\frac{T}{\rho}>0,\qquad f(x,t)=\frac{F(x,t)}{\rho}, $$

得到一维弦振动方程：

$$ \boxed{u_{tt}-a^2u_{xx}=f(x,t).} $$

这里 $a=\sqrt{T/\rho}$ 是波速，f 是单位质量所受的横向外力。无外力时 f = 0，方程成为齐次波动方程 u_tt − a²u_xx = 0。

类似地，薄膜振动和三维波动的形式分别为

u_tt = a²(u_xx + u_yy) + f(x, y, t),

u_tt = a²(u_xx + u_yy + u_zz) + f(x, y, z, t).

一般在 ℝⁿ 中写成 u_tt = a²Δu + f(x, t)，其中 $\Delta=\sum_{i=1}^n\partial^2/\partial x_i^2$。

推导定解条件

只给出方程还不能确定一次具体的振动。需要知道它最初是什么样，以及两端如何运动，这就是初始条件和边界条件。

初始条件：二阶时间方程通常需要初始位移和初始速度两项：

u(x, 0) = φ(x), u_t(x, 0) = ψ(x), 0 ≤ x ≤ l.
第一类边界条件（Dirichlet）：给定端点的位移。例如两端固定时

u(0, t) = u(l, t) = 0.

如果端点按已知规律运动，则写成 u(0, t) = g₁(t)、u(l, t) = g₂(t)。数据不为零时，边界条件称为非齐次。
第二类边界条件（Neumann）：给定端点的斜率，等价于在此线性模型中给定端点的横向受力。自由端不受横向外力时，u_x = 0；例如左端自由：

u_x(0, t) = 0.

两端若统一用外法向导数表示，则 ∂_nu(0, t) = −u_x(0, t)，∂_nu(l, t) = u_x(l, t)。这样写非齐次条件时不容易弄错左端的符号。
第三类边界条件（Robin）：端点与弹性支承相连时，支承的反力与位移成正比。右端弹性支承刚度为 k > 0 时，课件给出

−Tu_x(l, t) = ku(l, t),

即

$$ u_x(l,t)+\alpha u(l,t)=0,\qquad \alpha=\frac{k}{T}>0. $$

统一使用外法向导数，形式是 ∂_nu + αu = g。左右两端的刚度可以不同，因此相应的 α 也不必相同。

解决定解问题

把偏微分方程与恰当的定解条件联立，就得到定解问题。有限长弦需要方程、两个初始条件以及两端的边界条件，这叫初边值问题，也叫混合问题。

例如第一初边值问题（Dirichlet）是

$$ \begin{cases} u_{tt}-a^2u_{xx}=f(x,t),&0<x<l,\ t>0,\\ u(x,0)=\varphi(x),\quad u_t(x,0)=\psi(x),&0\le x\le l,\\ u(0,t)=g_1(t),\quad u(l,t)=g_2(t),&t\ge0. \end{cases} $$

第二初边值问题把最后一行改为 −u_x(0, t) = g₁(t)、u_x(l, t) = g₂(t)；第三初边值问题改为 −u_x(0, t) + α₀u(0, t) = g₁(t)、u_x(l, t) + α_lu(l, t) = g₂(t)。后两类的方程和初始条件与上面相同。

若研究整条无限长弦，就没有有限端点，只给初始条件，得到初值问题（Cauchy 问题）：

$$ \begin{cases} u_{tt}-a^2u_{xx}=f(x,t),&x\in\mathbb R,\ t>0,\\ u(x,0)=\varphi(x),\quad u_t(x,0)=\psi(x),&x\in\mathbb R. \end{cases} $$

如果要求解在 t = 0 及边界交点处连续，初始与边界数据还应相容。例如第一类边界条件至少要求 φ(0) = g₁(0)、φ(l) = g₂(0)。

热传导方程与定解条件

热传导方程的导出

若物体内部各点温度不同，热量会从高温处向低温处流动。设物体占据三维区域 G ⊂ ℝ³，u(x, t) 表示位置 x = (x, y, z) 在时刻 t 的温度。现在要找温度的变化规律。

这里需要两个物理定律：

热量守恒：区域内温度变化所需的热量 = 从边界流入的热量 + 内部热源提供的热量。
傅里叶热传导定律：热流密度 q = −k(x)∇u，其中 k > 0 为热导率。负号说明热量沿温度降低方向流动。

在 G 内任取由光滑闭曲面 S = ∂Ω 围成的小区域 Ω，令 n 指向 Ω 外侧。设 c(x) 为比热容，ρ(x) 为密度，F(x, t) 为单位体积、单位时间的热源强度。在 [t₁, t₂] 中，三项热量分别是：

Q_温变 = ∫_Ωcρ [u(x, t₂) − u(x, t₁)] dV = ∫_t₁^t₂∫_Ωcρu_t dV dt,

$$ Q_{\text{流入}}=-\int_{t_1}^{t_2}\int_S\boldsymbol q\cdot\boldsymbol n\,\mathrm dS\,\mathrm dt =\int_{t_1}^{t_2}\int_S k\frac{\partial u}{\partial n}\,\mathrm dS\,\mathrm dt, $$

Q_热源 = ∫_t₁^t₂∫_ΩF(x, t) dV dt.

注意正负号：q ⋅ n = −k∂_nu 是“向外”的热通量，而热量守恒中使用的是“流入”量，故前面要再加一个负号。课件第 41、44 页的两种写法需要这样区分。

由高斯公式，∫_Sk∂_nu dS = ∫_Ω∇ ⋅ (k∇u) dV。再利用 Ω 和时间区间的任意性，得到一般形式的热传导方程：

$$ \boxed{c(\boldsymbol{x})\rho(\boldsymbol{x})u_t =\nabla\cdot\bigl(k(\boldsymbol{x})\nabla u\bigr)+F(\boldsymbol{x},t).} $$

若 c, ρ, k 都为正常数，记

$$ a^2=\frac{k}{c\rho},\qquad f=\frac{F}{c\rho}, $$

便得到三维形式

$$ \boxed{u_t-a^2(u_{xx}+u_{yy}+u_{zz})=f(x,y,z,t).} $$

无热源时 f = 0。这里的 a² 是热扩散率，单位是长度平方除以时间；虽然课件也记作 a²，它与弦振动中的波速平方代表不同物理量。一维和二维的无源形式分别是

u_t = a²u_xx, u_t = a²(u_xx + u_yy).

定解条件

热传导方程对时间只有一阶，因此给定一个初始温度即可：

u(x, 0) = φ(x), x ∈ G.

在物体边界 Γ = ∂G 上，课件介绍了三类边界条件：

第一类（Dirichlet）：指定表面温度，u|_Γ = g(x, t)。
第二类（Neumann）：指定法向温度梯度或热通量，例如 k∂_nu|_Γ = g(x, t)。当 g = 0 时，表面绝热；若用向外热通量 $q_{\rm out}$ 作为数据，则应写成 $-k\partial_nu=q_{\rm out}$。
第三类（Robin）：物体与温度为 $u_{\rm env}$ 的外界介质换热。若换热系数 h > 0，由牛顿冷却定律与傅里叶定律在表面相等，

$$ -k\partial_nu=h(u-u_{\rm env}), $$

即

$$ \partial_nu+\alpha u=g,\qquad \alpha=\frac hk>0,\quad g=\frac hk u_{\rm env}. $$

Robin 条件在同一处边界上把 u 与 ∂_nu 线性组合；Dirichlet–Neumann 混合条件则通常指在边界的不同部分分别指定两类条件，二者不是一个概念。

定解问题

在整个 ℝ³ 中，只给方程和初始温度，得到热传导的初值问题：

$$ \begin{cases} u_t-a^2\Delta u=f(\boldsymbol{x},t),&\boldsymbol{x}\in\mathbb R^3,\ t>0,\\ u(\boldsymbol{x},0)=\varphi(\boldsymbol{x}),&\boldsymbol{x}\in\mathbb R^3. \end{cases} $$

在有边界的 G 中还要给边界数据。例如第一初边值问题为

$$ \begin{cases} u_t-a^2\Delta u=f(\boldsymbol{x},t),&\boldsymbol{x}\in G,\ t>0,\\ u(\boldsymbol{x},0)=\varphi(\boldsymbol{x}),&\boldsymbol{x}\in G,\\ u(\boldsymbol{x},t)=g(\boldsymbol{x},t),&\boldsymbol{x}\in\Gamma,\ t>0. \end{cases} $$

经典解在初始时刻与边界交接处应满足相容关系 φ|_Γ = g(x, 0)。与波动方程比较，最容易记住的一点是：热方程只有一个初始条件，波动方程需要位移和速度两个初始条件。热方程也用于描述扩散过程。

调和方程与定解条件

位势方程的导出

调和方程描述稳定状态下物理量的空间分布。比如常系数热传导方程达到稳态后 u_t = 0，于是

kΔu + F = 0,

即 Δu = −F/k。若没有热源 F = 0，就得到调和方程（Laplace 方程）：

$$ \boxed{\Delta u=u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=0.} $$

把非零右端统一记作 f(x)，得到泊松方程：

$$ \boxed{\Delta u=f(\boldsymbol{x}).} $$

两者统称为位势方程。右端的正负号取决于 f 的定义；例如在稳态热传导问题中 f = −F/k。波动方程的平衡态也可以导出同类方程。

调和函数是至少具有连续二阶偏导数，并满足 Δu = 0 的函数。课件还提到两个例子：静电势在特定单位制下满足 $\Delta\phi=-4\pi\rho_{\rm e}$；二维解析函数的实部和虚部满足二维调和方程（可由柯西–黎曼条件推出）。

定解条件：边界条件

位势方程没有时间变量，不需要初始条件；要确定具体的稳态分布，通常需要边界条件。设 Ω ⊂ ℝ³，Γ = ∂Ω，n 是指向区域外侧的单位法向量。

第一类（Dirichlet）：u|_Γ = g(x)，给定边界上的函数值。
第二类（Neumann）：∂_nu|_Γ = g(x)，给定外法向导数。
第三类（Robin）：(∂_nu + σu)|_Γ = g(x)，其中 σ > 0。

如果把 Γ 分为 Γ_D 与 Γ_N，在前者给定 u、后者给定 ∂_nu，才称为 Dirichlet–Neumann 混合边界条件。

定解问题：内问题与外问题

在有界区域内部求边值问题，叫内问题。例如泊松方程的 Robin 内问题：

$$ \begin{cases} \Delta u=f(\boldsymbol{x}),&\boldsymbol{x}\in\Omega,\\ \partial_nu+\sigma u=g(\boldsymbol{x}),&\boldsymbol{x}\in\Gamma. \end{cases} $$

对有界区域的 Neumann 内问题，还要特别注意：由高斯公式可得必要的相容条件

∫_Ωf dV = ∫_Γg dS.

而且如果 u 是解，u + C 也是解，所以 Neumann 条件本身只能把解确定到一个常数；还需要指定平均值或某点的值才能得到唯一解。

在有界物体的外部区域求解，叫外问题。此时仅给物体表面上的数据通常还不够，还要说明解在无穷远处的行为。课件中的例子很直观：设 Ω = {x ∈ ℝ³ : |x| > 1}，Γ 为单位球面，考虑

Δu = 0 (x ∈ Ω), u|_Γ = 1.

那么 u₁ ≡ 1 和 u₂(x) = 1/|x| 都满足这两个条件。若再要求 u → 0（当 |x| → ∞），就排除了 u₁，选出 u₂。

课件指出：三维外问题常要求解在无穷远处趋于零；二维外 Dirichlet 问题常要求解在无穷远处有界。但二维外 Neumann 问题仅要求有界仍不能消除“加常数”的自由度，还要指定归一化条件；边界数据也需满足相应的可解性条件。

三类模型放在一起比较

模型	典型方程	时间导数	常见初始数据	物理意义
波动	u_tt − a²Δu = f	二阶	初始位移、初始速度	扰动传播
热传导	u_t − a²Δu = f	一阶	初始温度	热或物质扩散
位势	Δu = f，无源时 Δu = 0	无	不需要	稳态分布