ErgouTree's Blog

切比雪夫不等式 定理内容 设随机变量X的期望和方差均存在，则对任意ε > 0，有 $$ P(\vert X - EX\vert\geq\varepsilon)\leq\frac{DX}{\varepsilon^{2}} $$ 等价形式为 $$ P(\vert X - EX\vert<\varepsilon)\geq1 - \frac{DX}{\varepsilon^{2}} $$ 定理内容解释 切比雪夫不等式告诉我们主要就一件事，对于一个随机变量 X，，如果它的平均值（期望 EX）和波动程度（方差 DX）都知道，那么 X 的值偏离平均值太远的概率是有限的。 表示即使分布未知，随机变量的取值落在期望左右的一定范围内的概率是有界的，该界限和方差有关。DX 越小，落在某范围内的概率就越大，表示 X 取值的概率分布越集中。也就是说，方差 DX 可以表示随机变量 X 取值的离散程度。 描述了任意随机变量的取值偏离其期望值的概率上限，不依赖于具体分布，仅需要方差存在. 具体来说： 偏离的概率：X...

随机变量的数学期望 离散型 一维的 定义 设y = g(x)是连续函数，而Y = g(X)是随机变量X的函数。 若X是离散型随机变量，分布列为P(X = xi) = pi，i = 1, 2, ⋯，且级数$\sum_{i = 1}^{\infty}|g(x_i)|p_i$收敛，则 $$ EY = Eg(X)=\sum_{i = 1}^{\infty}g(x_i)p_i $$ 例题 例 1：有限个取值的离散变量 设随机变量 X 表示掷一枚均匀骰子的点数，可能取值为 1, 2, 3, 4, 5, 6，每个取值的概率均为 $\frac{1}{6}$。 列出所有取值 xi 和对应概率 pi xi 1 2 3 4 5 6 pi $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ 代入公式计算： $$ E(X) = 1 \times...

前言 在这里主要是进行求一些常见分布的一些数字特性，包括期望，方差等 主要写的是计算过程，这些分布的数字特征是怎么计算来的，我个人喜欢把计算过程写的比较详细，感觉多的大概扫一眼就知道这东西其实都是怎么求的了 两点分布 重复一下分布表示 设随机变量 X 服从参数为 p 的两点分布（也称为伯努利分布），其概率质量函数为： P(X = 1) = p,  P(X = 0) = 1 − p 其中 0 ≤ p ≤ 1。 期望（数学期望） 期望 E[X] 的计算公式为： E[X] = ∑xx ⋅ P(X = x) = 0 ⋅ P(X = 0) + 1 ⋅ P(X = 1) 代入概率质量函数： E[X] = 0 ⋅ (1 − p) + 1 ⋅ p = p 因此，两点分布的期望为： E[X] = p 方差 方差 D(X) 的计算公式为： D(X) = E[X2] − (E[X])2 计算 E[X2]...

原点矩 定义 设 X 是随机变量，k 为正整数，则 k 阶原点矩 定义为： 离散型原点矩 $$ v_k = \sum_{i = 1}^{n} x_i^k p_i $$ 连续型原点矩： vk = ∫−∞+∞xikf(x) dx 解释 物理上，我们习惯把矩看作一杆能够取得两侧平衡的秤 在概率论中，有一杆无处不在的“秤”。因为这把“秤”的存在，所以我们有了“矩”。 这个矩可以理解为距离的意思，原点矩就是与原点，也就是与X轴上0点的距离。中心距，中心指的是变量的均值，那中心距就是与X轴上均值处的距离。 类比一下，将概率分布看作质量分布： - E[X1]（一阶矩）：系统的质心位置（均值），在概率论中直接反映随机变量的集中趋势（期望） - E[X2]（二阶矩）：质量分布的「转动惯量」，反映数据相对于原点的分散程度 - 。。。。。。。更高阶有更高阶的用途了 首先，E[Xk]是什么意思呢 对于离散型随机变量 X，其 k 阶原点矩 E[Xk] 的计算公式为： E[Xk] = ∑ixik ⋅ P(X = xi) 其中： - xi 是 X 的所有可能取值 -...

这俩函数都是什么 先说点别的 随机变量的本质是？ 我下面一条条说 其实就是一个取值个数 >=...

哪六大分布 离散型分布 两点分布 X ∼ B(1, p) 二项分布 X ∼ B(n, p) 泊松分布 X ∼ P(λ) 连续型分布 均匀分布 X ∼ U(a, b) 指数分布 X ∼ E(λ) 正态分布 X ∼ N(μ, σ2) 之后搞一个每个分布都单开一个文章把里面所有需要搞的东西，全搞了 一些公式备忘 期望公式 离散型随机变量的期望 若随机变量 X 取值为 x1, x2, …, xn，对应概率为 P(X = xi) = pi，则期望为 $$ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i $$ 连续型随机变量的期望 若随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)，则期望为： E(X) = ∫−∞+∞x ⋅ f(x) dx 方差公式 基于期望的定义式 随机变量 X 的方差表示为D(X)，定义为： D(X) = E[(X − E(X))2] 展开计算式 D(X) = E(X2) − [E(X)]2 离散型随机变量的方差 $$ D(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i -...

什么是事件独立性 若事件A，B 满足 P(AB) = P(A)P(B) 则称事件 A 独立于事件 B 这是证明两事件独立的唯一公式 由此定义可知，若A独立于B，则必有B独立于A，从而A，B之间的独立性是相互的。以后就称A，B相互独立，或简称A，B独立。 由此定义，若P(B) = 0，则必有A独立于B。 现将两个事件相互独立的概念推广到n(n ≥ 2)个事件的情形： 设A1, A2, ⋯, An为n(n ≥ 2)个事件，若对其中任意一组事件Ai1, Ai2, ⋯, Aik(2 ≤ k ≤ n)，都有 P(Ai1, Ai2, ⋯, Aik) = P(Ai1)P(Ai2)⋯P(Aik) 再则由此定义即可推出如下定理： 关于事件独立性的一些定理 设P(B) > 0，则A与B独立的充要条件是P(A|B) = P(A)。同理，若P(A) > 0，则A与B独立的充要条件是...

关于概率的公理化的一些说明 概率的公理化定义 设有随机试验E，E的样本空间为Ω，记包括Ω在内的E的所有时间组成的集合族为ℱ，若ℱ对中的任意一个事件A都能赋予一个实数P(A)，且P(A)满足条件： 非负性：0 ≤ P(A) ≤ 1； 规范性：P(Ω) = 1； 可列可加性：对两两互不相容的事件A1, A2, ⋯，有 $$ P\left(\sum_{i = 1}^{\infty}A_i\right)=\sum_{i = 1}^{\infty}P(A_i) $$ 则称P(A)为事件A的概率 关于概率的公理化定义一些额外内容 其中，设ℱ是由Ω中的子集组成的子集类，若具有 Ω ∈ ℱ 若$\overline{A} \in \mathscr{F}$，则$\overline{A} = \Omega - A \in \mathscr{F}$ 若An ∈ ℱ（对一切n ≥ 1），则$\bigcup_{n = 1}^{\infty} A_n...

自定义 starter SpringBoot Starter 场景机制 Spring Boot Starter 是一种简化 Spring Boot 应用开发的机制，它可以通过引入一些预定义的依赖和配置，让我们快速地集成某些功能模块，而无需繁琐地编写代码和配置文件。应用者只需要在maven中引入 starter 依赖，Spring Boot 就能自动扫描到要加载的信息并启动相应的默认配置。 starter 让我们摆脱了各种依赖库的处理，需要配置各种信息的困扰。Spring Boot 会自动通过 classpath 路径下的类发现需要的 Bean，并注册进IOC容器。Spring Boot 提供了针对日常企业应用研发各种场景的 spring-boot-starter 依赖模块。所有这些依赖模块都遵循着约定成俗的默认配置，并允许我们调整这些配置，即遵循“约定大于配置”的理念。 Spring Boot...

事件驱动开发 简介 在现代应用程序开发中，事件驱动架构（EDA）越来越受欢迎。它不仅可以提高系统的解耦性，还能提升系统的可扩展性和响应速度。Spring Boot 中的事件驱动开发是一种解耦业务逻辑的设计模式，核心思想是：通过 “事件发布 - 监听” 机制，让不同组件在不直接依赖的情况下协作。 事件驱动开发是一种软件架构模式，系统通过事件来进行通信和协调。事件可以是系统中发生的任何有意义的事情，如用户点击按钮、数据更新等。事件驱动架构的核心思想是将事件的发布者和事件的处理者解耦，通过事件总线来传递事件。这样可以使得系统更加灵活，易于扩展和维护。 Spring Boot中的事件模型基于 Spring Framework 的 ApplicationEvent 和 ApplicationListener。ApplicationEvent 是所有事件的基类，ApplicationListener 是所有事件监听器的接口。我们可以自定义事件并发布，自定义监听器来处理这些事件。 简单说，事件驱动开发是用 “事件” 作为业务流程的 “粘合剂”，让不同组件在...

观察者模式 观察者模式是一种行为设计模式，它定义了对象之间的依赖关系，当一个对象的状态发生改变时，所有依赖于它的对象都会得到通知并被自动更新。在这个模式中，改变状态的对象被称为主题，依赖的对象被称为观察者。 举个实际的例子： 事件源（Event Source）：可以视为“主题（Subject）”，当其状态发生变化时（比如播放新的内容），会通知所有的观察者。想象我们正在听广播，广播电台就是一个事件源，它提供了大量的新闻、音乐和其他内容。 事件（Event）：这是主题状态改变的具体表示，对应到广播例子中，就是新闻、音乐和其他内容。每当电台播放新的内容时，就相当于一个新的事件被发布了。 广播器（Event Publisher...

Spring Boot 整合 JUnit5 进行单元测试 SpringBoot 提供⼀系列测试⼯具集及注解⽅便我们进⾏测试。 Spring Test 与 JUnit等其他测试框架结合起来，提供了便捷高效的测试手段。而 Spring Boot Test 是在 Spring Test 之上的再次封装，增加了切片测试，增强了 mock 能力。 spring-boot-test提供核⼼测试能⼒，spring-boot-test-autoconfigure提供测试的⼀些⾃动配置 我们只需要导⼊ spring-boot-starter-test 即可整合测试 12345<dependency> <groupId>org.springframework.boot</groupId> <artifactId>spring-boot-starter-test</artifactId> <scope>test</scope></dependency> Spring...

外部化配置 什么是外部化配置 在软件开发中，外部化配置指的是将应用程序的配置信息（如环境参数、连接地址、业务开关等）与代码逻辑分离，存储在外部资源中（如配置文件、环境变量、数据库等）。Spring Boot 的外部化配置机制并非凭空产生，而是源于软件开发中一系列实际需求的驱动 Spring Boot 外部化配置 (Externalized Configuration) 提供了一套强大的机制，允许我们将应用的配置 从代码中解耦出来，并通过多种外部来源进行灵活管理，从而打造出 可移植、可扩展、易于维护 的 Spring Boot...