ErgouTree's Blog

随机变量的数学期望 离散型 一维的 定义 设y = g(x)是连续函数，而Y = g(X)是随机变量X的函数。 若X是离散型随机变量，分布列为P(X = xi) = pi，i = 1, 2, ⋯，且级数$\sum_{i = 1}^{\infty}|g(x_i)|p_i$收敛，则 $$ EY = Eg(X)=\sum_{i = 1}^{\infty}g(x_i)p_i $$ 例题 例 1：有限个取值的离散变量 设随机变量 X 表示掷一枚均匀骰子的点数，可能取值为 1, 2, 3, 4, 5, 6，每个取值的概率均为 $\frac{1}{6}$。 列出所有取值 xi 和对应概率 pi xi 1 2 3 4 5 6 pi $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ 代入公式计算： $$ E(X) = 1 \times...

前言 在这里主要是进行求一些常见分布的一些数字特性，包括期望，方差等 主要写的是计算过程，这些分布的数字特征是怎么计算来的，我个人喜欢把计算过程写的比较详细，感觉多的大概扫一眼就知道这东西其实都是怎么求的了 两点分布 重复一下分布表示 设随机变量 X 服从参数为 p 的两点分布（也称为伯努利分布），其概率质量函数为： P(X = 1) = p,  P(X = 0) = 1 − p 其中 0 ≤ p ≤ 1。 期望（数学期望） 期望 E[X] 的计算公式为： E[X] = ∑xx ⋅ P(X = x) = 0 ⋅ P(X = 0) + 1 ⋅ P(X = 1) 代入概率质量函数： E[X] = 0 ⋅ (1 − p) + 1 ⋅ p = p 因此，两点分布的期望为： E[X] = p 方差 方差 D(X) 的计算公式为： D(X) = E[X2] − (E[X])2 计算 E[X2]...

原点矩 定义 设 X 是随机变量，k 为正整数，则 k 阶原点矩 定义为： 离散型原点矩 $$ v_k = \sum_{i = 1}^{n} x_i^k p_i $$ 连续型原点矩： vk = ∫−∞+∞xikf(x) dx 解释 物理上，我们习惯把矩看作一杆能够取得两侧平衡的秤 在概率论中，有一杆无处不在的“秤”。因为这把“秤”的存在，所以我们有了“矩”。 这个矩可以理解为距离的意思，原点矩就是与原点，也就是与X轴上0点的距离。中心距，中心指的是变量的均值，那中心距就是与X轴上均值处的距离。 类比一下，将概率分布看作质量分布： - E[X1]（一阶矩）：系统的质心位置（均值），在概率论中直接反映随机变量的集中趋势（期望） - E[X2]（二阶矩）：质量分布的「转动惯量」，反映数据相对于原点的分散程度 - 。。。。。。。更高阶有更高阶的用途了 首先，E[Xk]是什么意思呢 对于离散型随机变量 X，其 k 阶原点矩 E[Xk] 的计算公式为： E[Xk] = ∑ixik ⋅ P(X = xi) 其中： - xi 是 X 的所有可能取值 -...

这俩函数都是什么 先说点别的 随机变量的本质是？ 我下面一条条说 其实就是一个取值个数 >=...

哪六大分布 离散型分布 两点分布 X ∼ B(1, p) 二项分布 X ∼ B(n, p) 泊松分布 X ∼ P(λ) 连续型分布 均匀分布 X ∼ U(a, b) 指数分布 X ∼ E(λ) 正态分布 X ∼ N(μ, σ2) 之后搞一个每个分布都单开一个文章把里面所有需要搞的东西，全搞了 一些公式备忘 期望公式 离散型随机变量的期望 若随机变量 X 取值为 x1, x2, …, xn，对应概率为 P(X = xi) = pi，则期望为 $$ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i $$ 连续型随机变量的期望 若随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)，则期望为： E(X) = ∫−∞+∞x ⋅ f(x) dx 方差公式 基于期望的定义式 随机变量 X 的方差表示为D(X)，定义为： D(X) = E[(X − E(X))2] 展开计算式 D(X) = E(X2) − [E(X)]2 离散型随机变量的方差 $$ D(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i -...

什么是事件独立性 若事件A，B 满足 P(AB) = P(A)P(B) 则称事件 A 独立于事件 B 这是证明两事件独立的唯一公式 由此定义可知，若A独立于B，则必有B独立于A，从而A，B之间的独立性是相互的。以后就称A，B相互独立，或简称A，B独立。 由此定义，若P(B) = 0，则必有A独立于B。 现将两个事件相互独立的概念推广到n(n ≥ 2)个事件的情形： 设A1, A2, ⋯, An为n(n ≥ 2)个事件，若对其中任意一组事件Ai1, Ai2, ⋯, Aik(2 ≤ k ≤ n)，都有 P(Ai1, Ai2, ⋯, Aik) = P(Ai1)P(Ai2)⋯P(Aik) 再则由此定义即可推出如下定理： 关于事件独立性的一些定理 设P(B) > 0，则A与B独立的充要条件是P(A|B) = P(A)。同理，若P(A) > 0，则A与B独立的充要条件是...

关于概率的公理化的一些说明 概率的公理化定义 设有随机试验E，E的样本空间为Ω，记包括Ω在内的E的所有时间组成的集合族为ℱ，若ℱ对中的任意一个事件A都能赋予一个实数P(A)，且P(A)满足条件： 非负性：0 ≤ P(A) ≤ 1； 规范性：P(Ω) = 1； 可列可加性：对两两互不相容的事件A1, A2, ⋯，有 $$ P\left(\sum_{i = 1}^{\infty}A_i\right)=\sum_{i = 1}^{\infty}P(A_i) $$ 则称P(A)为事件A的概率 关于概率的公理化定义一些额外内容 其中，设ℱ是由Ω中的子集组成的子集类，若具有 Ω ∈ ℱ 若$\overline{A} \in \mathscr{F}$，则$\overline{A} = \Omega - A \in \mathscr{F}$ 若An ∈ ℱ（对一切n ≥ 1），则$\bigcup_{n = 1}^{\infty} A_n...

自定义 starter SpringBoot Starter 场景机制 Spring Boot Starter 是一种简化 Spring Boot 应用开发的机制，它可以通过引入一些预定义的依赖和配置，让我们快速地集成某些功能模块，而无需繁琐地编写代码和配置文件。应用者只需要在maven中引入 starter 依赖，Spring Boot 就能自动扫描到要加载的信息并启动相应的默认配置。 starter 让我们摆脱了各种依赖库的处理，需要配置各种信息的困扰。Spring Boot 会自动通过 classpath 路径下的类发现需要的 Bean，并注册进IOC容器。Spring Boot 提供了针对日常企业应用研发各种场景的 spring-boot-starter 依赖模块。所有这些依赖模块都遵循着约定成俗的默认配置，并允许我们调整这些配置，即遵循“约定大于配置”的理念。 Spring Boot...

事件驱动开发 简介 在现代应用程序开发中，事件驱动架构（EDA）越来越受欢迎。它不仅可以提高系统的解耦性，还能提升系统的可扩展性和响应速度。Spring Boot 中的事件驱动开发是一种解耦业务逻辑的设计模式，核心思想是：通过 “事件发布 - 监听” 机制，让不同组件在不直接依赖的情况下协作。 事件驱动开发是一种软件架构模式，系统通过事件来进行通信和协调。事件可以是系统中发生的任何有意义的事情，如用户点击按钮、数据更新等。事件驱动架构的核心思想是将事件的发布者和事件的处理者解耦，通过事件总线来传递事件。这样可以使得系统更加灵活，易于扩展和维护。 Spring Boot中的事件模型基于 Spring Framework 的 ApplicationEvent 和 ApplicationListener。ApplicationEvent 是所有事件的基类，ApplicationListener 是所有事件监听器的接口。我们可以自定义事件并发布，自定义监听器来处理这些事件。 简单说，事件驱动开发是用 “事件” 作为业务流程的 “粘合剂”，让不同组件在...

观察者模式 观察者模式是一种行为设计模式，它定义了对象之间的依赖关系，当一个对象的状态发生改变时，所有依赖于它的对象都会得到通知并被自动更新。在这个模式中，改变状态的对象被称为主题，依赖的对象被称为观察者。 举个实际的例子： 事件源（Event Source）：可以视为“主题（Subject）”，当其状态发生变化时（比如播放新的内容），会通知所有的观察者。想象我们正在听广播，广播电台就是一个事件源，它提供了大量的新闻、音乐和其他内容。 事件（Event）：这是主题状态改变的具体表示，对应到广播例子中，就是新闻、音乐和其他内容。每当电台播放新的内容时，就相当于一个新的事件被发布了。 广播器（Event Publisher...

Spring Boot 整合 JUnit5 进行单元测试 SpringBoot 提供⼀系列测试⼯具集及注解⽅便我们进⾏测试。 Spring Test 与 JUnit等其他测试框架结合起来，提供了便捷高效的测试手段。而 Spring Boot Test 是在 Spring Test 之上的再次封装，增加了切片测试，增强了 mock 能力。 spring-boot-test提供核⼼测试能⼒，spring-boot-test-autoconfigure提供测试的⼀些⾃动配置 我们只需要导⼊ spring-boot-starter-test 即可整合测试 12345<dependency> <groupId>org.springframework.boot</groupId> <artifactId>spring-boot-starter-test</artifactId> <scope>test</scope></dependency> Spring...

外部化配置 什么是外部化配置 在软件开发中，外部化配置指的是将应用程序的配置信息（如环境参数、连接地址、业务开关等）与代码逻辑分离，存储在外部资源中（如配置文件、环境变量、数据库等）。Spring Boot 的外部化配置机制并非凭空产生，而是源于软件开发中一系列实际需求的驱动 Spring Boot 外部化配置 (Externalized Configuration) 提供了一套强大的机制，允许我们将应用的配置 从代码中解耦出来，并通过多种外部来源进行灵活管理，从而打造出 可移植、可扩展、易于维护 的 Spring Boot...

什么是Profiles 介绍 随着软件开发变得越来越复杂，应用程序往往需要在不同的环境中运行，比如开发、测试、生产等。每个环境可能对配置有不同的需求。手动管理这些差异化的配置不仅容易出错，而且效率低下。为了解决这个问题，Spring框架引入了Profiles的概念，它允许开发者根据不同的环境来激活特定的配置设置。 Spring Profiles 是Spring框架提供的一种机制，用来解决多环境配置问题。通过定义不同的profiles，可以在同一套代码库中针对不同的运行时环境（如开发、测试、生产）指定不同的配置属性，这样就提供了一种方式允许我们指定在特定环境下只加载对应的程序配置，每一种环境配置对应一个 Profile，只有当前 Profile 处于激活状态时，才会将该 Profile 所对应的配置和 Bean 加载到 Spring 程序中。这样做的好处是能够保持代码的一致性，同时又能灵活地适应各种环境的变化。 Spring Profiles 就是针对应用程序，不同环境需要不同配置加载的一种解决方案。 Profile 的概念其实很早在 Spring...