ErgouTree's Blog

区间估计 什么是区间估计 上一篇文章中我们理解了什么是点估计，这次就是参数估计的另一种估计方式，区间估计。 由于点估计忽略了抽样波动性，为了更全面地反映参数估计的可靠性，我们引入区间估计 和理解点估计一样，区间估计就是估计未知参数θ的可能取值范围和这个范围包含该未知参数θ的可信程度，这个范围就是区间估计的估计内容 区间估计不仅给出一个中心点，还给出了一个上下界，使得该区间在一定的置信水平下包含真实参数值。例如，当我们计算出某总体均值的95%置信区间为[a, b]时，可以理解为在相同抽样条件下重复实验，约有95%的构造出的区间会包含总体均值。 具体说，区间估计是统计学中用来估计未知参数（比如均值、比例等）的一种方法。它不像点估计那样只给出一个具体的数值（比如“平均身高是170cm”），而是给出一个范围（比如“平均身高在168cm到172cm之间”），并说明这个范围的可信程度（比如“有95%的把握”）。 构造步骤 以单个正态总体均值的区间估计为例，构造置信区间通常包括以下步骤： 若总体服从正态分布，则样本均值 $\overline...

参数估计之点估计 什么是参数估计 首先，什么是参数估计呢？ 之前我们其实已经了解到很多种分布类型了，比如正态分布、均匀分布、泊松分布等。拿正态分布举例，决定正态分布的有两个参数：均值和方差。 因此，参数就是决定分布的关键性数据。知道了参数，也就是知道了分布的详细内容。 总体的分布类别如果我们知道了，是不是只要知道分布的参数，就能知道总体的分布详情？ 所以说，用样本的数据来构造函数（即统计量），来估计总体参数，这就是参数估计。 估计量 定义 估计量是样本的统计量，用于估计总体未知参数。它是一个随机变量，因为其值依赖于随机样本。 若总体参数为 θ，表示总体X的待估计参数，其中 X1, X2, …, Xn 是来自总体的样本，则其中的一个估计量记作 θ̂ = θ̂(X1, X2, …, Xn)来估计θ，则称 θ̂ 为 θ 的估计量 理解 用于估计总体参数的 随机变量 ，是基于样本构造的、对总体参数进行估计的 “规则 / 公式” 。 它本身是一种统计量（由样本数据计算得到），因样本具有随机性，所以估计量是随机变量，会随样本不同而变化。 比如：用 “样本均值...

切比雪夫不等式 定理内容 设随机变量X的期望和方差均存在，则对任意ε > 0，有 $$ P(\vert X - EX\vert\geq\varepsilon)\leq\frac{DX}{\varepsilon^{2}} $$ 等价形式为 $$ P(\vert X - EX\vert<\varepsilon)\geq1 - \frac{DX}{\varepsilon^{2}} $$ 定理内容解释 切比雪夫不等式告诉我们主要就一件事，对于一个随机变量 X，，如果它的平均值（期望 EX）和波动程度（方差 DX）都知道，那么 X 的值偏离平均值太远的概率是有限的。 表示即使分布未知，随机变量的取值落在期望左右的一定范围内的概率是有界的，该界限和方差有关。DX 越小，落在某范围内的概率就越大，表示 X 取值的概率分布越集中。也就是说，方差 DX 可以表示随机变量 X 取值的离散程度。 描述了任意随机变量的取值偏离其期望值的概率上限，不依赖于具体分布，仅需要方差存在. 具体来说： 偏离的概率：X...

随机变量的数学期望 离散型 一维的 定义 设y = g(x)是连续函数，而Y = g(X)是随机变量X的函数。 若X是离散型随机变量，分布列为P(X = xi) = pi，i = 1, 2, ⋯，且级数$\sum_{i = 1}^{\infty}|g(x_i)|p_i$收敛，则 $$ EY = Eg(X)=\sum_{i = 1}^{\infty}g(x_i)p_i $$ 例题 例 1：有限个取值的离散变量 设随机变量 X 表示掷一枚均匀骰子的点数，可能取值为 1, 2, 3, 4, 5, 6，每个取值的概率均为 $\frac{1}{6}$。 列出所有取值 xi 和对应概率 pi xi 1 2 3 4 5 6 pi $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ $\frac{1}{6}$ 代入公式计算： $$ E(X) = 1 \times...

前言 在这里主要是进行求一些常见分布的一些数字特性，包括期望，方差等 主要写的是计算过程，这些分布的数字特征是怎么计算来的，我个人喜欢把计算过程写的比较详细，感觉多的大概扫一眼就知道这东西其实都是怎么求的了 两点分布 重复一下分布表示 设随机变量 X 服从参数为 p 的两点分布（也称为伯努利分布），其概率质量函数为： P(X = 1) = p,  P(X = 0) = 1 − p 其中 0 ≤ p ≤ 1。 期望（数学期望） 期望 E[X] 的计算公式为： E[X] = ∑xx ⋅ P(X = x) = 0 ⋅ P(X = 0) + 1 ⋅ P(X = 1) 代入概率质量函数： E[X] = 0 ⋅ (1 − p) + 1 ⋅ p = p 因此，两点分布的期望为： E[X] = p 方差 方差 D(X) 的计算公式为： D(X) = E[X2] − (E[X])2 计算 E[X2]...

原点矩 定义 设 X 是随机变量，k 为正整数，则 k 阶原点矩 定义为： 离散型原点矩 $$ v_k = \sum_{i = 1}^{n} x_i^k p_i $$ 连续型原点矩： vk = ∫−∞+∞xikf(x) dx 解释 物理上，我们习惯把矩看作一杆能够取得两侧平衡的秤 在概率论中，有一杆无处不在的“秤”。因为这把“秤”的存在，所以我们有了“矩”。 这个矩可以理解为距离的意思，原点矩就是与原点，也就是与X轴上0点的距离。中心距，中心指的是变量的均值，那中心距就是与X轴上均值处的距离。 类比一下，将概率分布看作质量分布： - E[X1]（一阶矩）：系统的质心位置（均值），在概率论中直接反映随机变量的集中趋势（期望） - E[X2]（二阶矩）：质量分布的「转动惯量」，反映数据相对于原点的分散程度 - 。。。。。。。更高阶有更高阶的用途了 首先，E[Xk]是什么意思呢 对于离散型随机变量 X，其 k 阶原点矩 E[Xk] 的计算公式为： E[Xk] = ∑ixik ⋅ P(X = xi) 其中： - xi 是 X 的所有可能取值 -...

这俩函数都是什么 先说点别的 随机变量的本质是？ 我下面一条条说 其实就是一个取值个数 >=...

哪六大分布 离散型分布 两点分布 X ∼ B(1, p) 二项分布 X ∼ B(n, p) 泊松分布 X ∼ P(λ) 连续型分布 均匀分布 X ∼ U(a, b) 指数分布 X ∼ E(λ) 正态分布 X ∼ N(μ, σ2) 之后搞一个每个分布都单开一个文章把里面所有需要搞的东西，全搞了 一些公式备忘 期望公式 离散型随机变量的期望 若随机变量 X 取值为 x1, x2, …, xn，对应概率为 P(X = xi) = pi，则期望为 $$ E(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot p_i $$ 连续型随机变量的期望 若随机变量 X 的概率密度函数为 f(x)，则期望为： E(X) = ∫−∞+∞x ⋅ f(x) dx 方差公式 基于期望的定义式 随机变量 X 的方差表示为D(X)，定义为： D(X) = E[(X − E(X))2] 展开计算式 D(X) = E(X2) − [E(X)]2 离散型随机变量的方差 $$ D(X) = \sum_{i=1}^{n} (x_i -...

什么是事件独立性 若事件A，B 满足 P(AB) = P(A)P(B) 则称事件 A 独立于事件 B 这是证明两事件独立的唯一公式 由此定义可知，若A独立于B，则必有B独立于A，从而A，B之间的独立性是相互的。以后就称A，B相互独立，或简称A，B独立。 由此定义，若P(B) = 0，则必有A独立于B。 现将两个事件相互独立的概念推广到n(n ≥ 2)个事件的情形： 设A1, A2, ⋯, An为n(n ≥ 2)个事件，若对其中任意一组事件Ai1, Ai2, ⋯, Aik(2 ≤ k ≤ n)，都有 P(Ai1, Ai2, ⋯, Aik) = P(Ai1)P(Ai2)⋯P(Aik) 再则由此定义即可推出如下定理： 关于事件独立性的一些定理 设P(B) > 0，则A与B独立的充要条件是P(A|B) = P(A)。同理，若P(A) > 0，则A与B独立的充要条件是...

关于概率的公理化的一些说明 概率的公理化定义 设有随机试验E，E的样本空间为Ω，记包括Ω在内的E的所有时间组成的集合族为ℱ，若ℱ对中的任意一个事件A都能赋予一个实数P(A)，且P(A)满足条件： 非负性：0 ≤ P(A) ≤ 1； 规范性：P(Ω) = 1； 可列可加性：对两两互不相容的事件A1, A2, ⋯，有 $$ P\left(\sum_{i = 1}^{\infty}A_i\right)=\sum_{i = 1}^{\infty}P(A_i) $$ 则称P(A)为事件A的概率 关于概率的公理化定义一些额外内容 其中，设ℱ是由Ω中的子集组成的子集类，若具有 Ω ∈ ℱ 若$\overline{A} \in \mathscr{F}$，则$\overline{A} = \Omega - A \in \mathscr{F}$ 若An ∈ ℱ（对一切n ≥ 1），则$\bigcup_{n = 1}^{\infty} A_n...